Tangentes en la circunferencia

La tangente se define como la recta que toca en un solo punto a la circunferencia. Esta recta tangente cumple con la siguiente propiedad:

"La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia".

Demostración:

Supongamos que trazamos una recta secante (L) a la circunferencia, que la intercepta en los puntos Py Q. Por el centro O trazamos una perpendicular a PQ que la intercepta en el punto M, si trazamos rectas paralelas a L, veremos que los puntos P y Q se van "acercando" a M, hasta que en la posisción límite (cuando L pasa a ser la tangente), OM es perpendicular a L.

La propiedad anterior nos permite demostrar los siguiente:

"El ángulo semiinscrito es igual al ángulo inscrito si subtienden al mismo arco".

Hipótesis: PA tangente a la circunferencia y PAB: ángulo semiinscrito.

Tesis: ángulo PAB = ángulo ACB.

Demostración:

Supongamos que el ángulo PAB = x.

Como OA AP, se tiene que el ángulo OAB= 90º - x

Pero el triángulo ABO es isósceles, por lo tanto: el ángulo OAB= 90º - x = ángulo ABO.

De lo anterior, tenemos que el ángulo AOB = 180º - (90º - x + 90º - x) = 2x.

Pero el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por lo tanto el ángulo AOB = 2 ángulos ACB

2x = 2y

Por lo tanto: x=y