Segmentos congruentes en la circunferencia

Existen diversos segmentos congruentes en una circunferencia, los cuales se darán a conocer ahora mediante distintas propiedades:

Propiedad 1:

"A cuerdas congruentes le corresponden arcos respectivos congruentes"

Hipótesis: AB = CD

Demostración:

El triángulo AOB es congruente con el COD (L, L, L), de esta congruencia se deduce que el ángulo AOB es congruente con el ángulo COD.

Pero los ángulos del centro miden lo mismo que los arcos, por lo tanto AB = CD.

Propiedad 2:

Dos ángulos inscritos son congruentes si y solo si las cuerdas respectivas son congruentes.

Hipótesis: ángulo ACB = ángulo FDE

Tesis: AB = EF

Demostración:

Supongamos que: ángulo ACB = ángulo FDE = a, por propiedad anterior: AB = EF.

Pero a arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes (propiedad 1), por lo tanto, AB = EF

Propiedad 3:

"Dos cuerdas son congruentes si y solo si están a la misma distancia del centro".

Hipótesis: AB = CD;

OP AB y OQ CD.

Tesis: OP = OQ

Demostración:

Los triángulos OAB y OCD son congruentes (L, L, L), por lo tanto las alturas correspodientes son congruentes, es decir, OP = OQ.

Propiedad 4:

"Una cuerda es perpendicular a un diámetro si y solo si queda dimidiada por este"

Hipótesis: AB es diámetro y CD es una cuerda de la circunferencia que se interceptan en M;

AB CD.

Tesis: CM = MD

Demostración:

Triángulo OMC (L, L, A)

OC = OD; OM = OM y ángulo OMC = ángulo OMD

De la congruencia se deduce que: CM = MD.

Propiedad 5:

"Si desde un punto en el exterior de un círculo se trazan dos segmentos tangentes a una circunferencia, estos segmentos son congruentes".

Hipótesis: PA y PB tangentes a la circunferencia .

Tesis: PA = PB

Demostración:

Se forma el triángulo PAB, donde AB pasa por el punto O, al formar el triángulo se obtiene los ángulos PAO Y PBO, siendo PAO = PBO, formándose un triángulo isósceles de base AB, demostrando que PA = PB