Entrevista

Ricardo Bueno, ingeniero mecánico, es nuestro entrevistado y ha respondido las siguientes preguntas:

Entrevistador: ¿En qué momento has ocupado la circunferencia?
Ricardo Bueno: Yo ocupe la circunferencia obviamente en la universidad, en ramos como por ejemplo dibujo técnico, cálculo, algebra, las fisicas, diseños mecanicos, etc.

E: Y ahora ¿ cómo las ocupas?
R.B. : En mi trabajo, pero no ocupo la circunferencia en sí, si no que ocupo alguno de sus elementos como el radio o diámtero y para proyectarla en volumenes.

E: ¿ Qué tipo de activiades realizas en tu trabajo donde está presente la circunferencia?
R.B. : Para calculos de áreas, para poder determinar las tuberias y sus flujos, ocupamos los diametros que estan ligados a la circunsferencia y sus radios, hoy la aplicacion mas practica y diaria en mi trabajo de la circunferencia es aplicar el diametro, para calcular flujos de tuberias y proyectandola poder calcular volumenes de lineas (tuberias) y estanques cilindricos.

DATOS DEL TRABAJO

Integrantes:

Marjorie Uribe.
Patricia Vargas.
Ana Zapata.
Enrique González.


Curso:

IIºC.


Bibliografía:

www.wikipedia.org
www.icarito.cl
www.escolar.com
www.profesorenlínea.cl

Libro de matemática 2º medio. Ediciones Cal y Canto.

Contexto Histórico

Cicunferencias y curvas de nivel

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.
Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

Importancia del cono y circunferencia

Al cortar un cono circular por un plano se puede obtener un círculo, una elipse, una parábola, líneas convergentes y una hipérbola.
Estas secciones cónicas son instrumento teórico fundamental en la dinámica o mecánica terrestre, ya que los proyectiles y satélites siguen curvas de ese tipo.

Thales de Mileto

Se destacó en filosofía y fue precursor en las primeras demostraciones de teoremas geométricos a través del razonamiento lógico.
Dos de sus teoremas se relacionan estrechamente con la circunferencia y son los siguientes:

Todo diámetro bisecta a la circunferencia.

Y el más importante que es que un ángulo inscrito en una semicircunferencia es siempre recto.

Tangentes en la circunferencia

La tangente se define como la recta que toca en un solo punto a la circunferencia. Esta recta tangente cumple con la siguiente propiedad:

"La recta tangente es perpendicular al radio en el punto de tangencia".

Demostración:

Supongamos que trazamos una recta secante (L) a la circunferencia, que la intercepta en los puntos Py Q. Por el centro O trazamos una perpendicular a PQ que la intercepta en el punto M, si trazamos rectas paralelas a L, veremos que los puntos P y Q se van "acercando" a M, hasta que en la posisción límite (cuando L pasa a ser la tangente), OM es perpendicular a L.

La propiedad anterior nos permite demostrar los siguiente:

"El ángulo semiinscrito es igual al ángulo inscrito si subtienden al mismo arco".

Hipótesis: PA tangente a la circunferencia y PAB: ángulo semiinscrito.

Tesis: ángulo PAB = ángulo ACB.

Demostración:

Supongamos que el ángulo PAB = x.

Como OA AP, se tiene que el ángulo OAB= 90º - x

Pero el triángulo ABO es isósceles, por lo tanto: el ángulo OAB= 90º - x = ángulo ABO.

De lo anterior, tenemos que el ángulo AOB = 180º - (90º - x + 90º - x) = 2x.

Pero el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito que subtiende el mismo arco, por lo tanto el ángulo AOB = 2 ángulos ACB

2x = 2y

Por lo tanto: x=y

Teoremas relacionados con la proporcionalidad de trazos en la circunferencia

Algunas veces en la circunferencia se presentan situaciones donde se producen proporcionalidad de trazos, y se pueden apreciar 3 teoremas.

TEOREMA DE LAS CUERDAS

Si 2 cuerdas se interceptan en el interior de la circunferencia, el producto de los segmentos determinados en una cuerda es igual al producto de los segmentos determinados en otra cuerda.

NP·PQ = RP·PS

TEOREMA DE LAS SECANTES

Si 2 rectas secantes interceptan a una circunferenia, el producto entre el segmento exterior a la circunferencia con el segmento totalen una de las secantes es igual al producto de los correspondientes segmentos en otra secante.




MP·SP = RP·QP

TEOREMA DE LA SECANTE Y LA TANGENTE

Si desde un punto exterior a una circunferencia, se traza una tangente y una secante, el cuadrado del segmento tangente equivale al producto entre el segmento exterior y el segmento total de la recta secante.

TP² = RP· QP

Segmentos congruentes en la circunferencia

Existen diversos segmentos congruentes en una circunferencia, los cuales se darán a conocer ahora mediante distintas propiedades:

Propiedad 1:

"A cuerdas congruentes le corresponden arcos respectivos congruentes"

Hipótesis: AB = CD

Demostración:

El triángulo AOB es congruente con el COD (L, L, L), de esta congruencia se deduce que el ángulo AOB es congruente con el ángulo COD.

Pero los ángulos del centro miden lo mismo que los arcos, por lo tanto AB = CD.

Propiedad 2:

Dos ángulos inscritos son congruentes si y solo si las cuerdas respectivas son congruentes.

Hipótesis: ángulo ACB = ángulo FDE

Tesis: AB = EF

Demostración:

Supongamos que: ángulo ACB = ángulo FDE = a, por propiedad anterior: AB = EF.

Pero a arcos congruentes le corresponden cuerdas congruentes (propiedad 1), por lo tanto, AB = EF

Propiedad 3:

"Dos cuerdas son congruentes si y solo si están a la misma distancia del centro".

Hipótesis: AB = CD;

OP AB y OQ CD.

Tesis: OP = OQ

Demostración:

Los triángulos OAB y OCD son congruentes (L, L, L), por lo tanto las alturas correspodientes son congruentes, es decir, OP = OQ.

Propiedad 4:

"Una cuerda es perpendicular a un diámetro si y solo si queda dimidiada por este"

Hipótesis: AB es diámetro y CD es una cuerda de la circunferencia que se interceptan en M;

AB CD.

Tesis: CM = MD

Demostración:

Triángulo OMC (L, L, A)

OC = OD; OM = OM y ángulo OMC = ángulo OMD

De la congruencia se deduce que: CM = MD.

Propiedad 5:

"Si desde un punto en el exterior de un círculo se trazan dos segmentos tangentes a una circunferencia, estos segmentos son congruentes".

Hipótesis: PA y PB tangentes a la circunferencia .

Tesis: PA = PB

Demostración:

Se forma el triángulo PAB, donde AB pasa por el punto O, al formar el triángulo se obtiene los ángulos PAO Y PBO, siendo PAO = PBO, formándose un triángulo isósceles de base AB, demostrando que PA = PB

Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.

Mide la mitad del arco que abarca.

AOB= 1/2 AB

Ángulo exterior e interior

Ángulo Interior

Su vertice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella. Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

A0B= 1/2 (AB+CD)

Ángulo exterior


Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Mide la mitad de la diferencia entre las medidas de los arcos que abarcan sus lados sobre la circunferencia.

ÁNGULO INSCRITO

Es el ángulo cuyo vértice está sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas de ella. Para todo ángulo inscrito, existe un ángulo del centro que subtiende el mismo arco. El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo arco.

< ABC inscrito que subtiende arco AC
Vértice en la circunferencia
Los lados son cuerdas de ellas
< ABC subtiende arco AC
El centro de la circunferencia está en el interior del ángulo.

Lados son cuerdas de ellas

El centro de la circuferencia esta en el interior del ángulo


Ejemplo:

Si ángulo y es igual a 54 grados

Entonces ¿cuánto mide el ángulo x ?

El ángulo “y” es un ángulo del centro; el ángulo “x” es un ángulo inscrito que subtiende un arco común con el ángulo del centro (AB), por lo tanto, se debe aplicar el Teorema del ángulo inscrito.

Por Teorema: x = 1/2 y --> x = 1/2 · 54 = 54/2 = 27º

Caso Especial:

Si un ángulo inscrito subtiende una semicircunferencia, entonces es recto





α = 180º β = 90º

Ángulos en una circunferencia

Ángulo del centro: Es el ángulo cuyo vértice es el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios de ella.

Vértice en el centro de la circunferencia.

Lados que contienen radios de ella.

Ejemplo:

(Debe leerse: arco SR es igual a un tercio de la circunferencia. Calcular el ángulo X))
Por definición del Teorema del ángulo del centro la medida del arco SR es igual a la medida del ángulo del centro (x). Como la circunferencia en el sistema sexagesimal tiene 360º significa que el arco SR mide 1/3 de 360º, esto es dividir 360 en 3 partes y tomar 1 sola.

360º : 3 = 120º < sor =" 120º">

Rectas en la circunferencia

CIRCUNFERENCIA: Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

Radio: Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella.El radio se nombra con la letra “r” o bien con sus puntos extremos.


La medida del radio es constante.

Cuerda: Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia. Las cuerdas tienen distintas medidas.

Diámetro: Es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.



Es la cuerda de mayor medida y se nombra con la letra "d". Además el diámetro siempre es el doble del radio.

d= 2r r= d/2





Tangente: Es la recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Es perpendicular al centro de la circunferencia.















Secante: Es la recta intersecta en dos puntos a la circunferencia














Arco: Es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.